Lawvere: Historie a filozofie matematické reformy
Dr. William Lawvere, mezioborová konference, Windsor, 10. února 1996
Učitelé matematiky již
dlouho požadují lepší učebnice. V posledních měsících se po mnoha fanfárách
objevilo několik knih, které tvrdí, že na tento požadavek reagují. Mnozí
učitelé však již nyní říkají, že tato "novinka" je velmi podobná té
staré, která tak špatně fungovala, jen se nyní mnohem více a propracovaněji a
rafinovaněji snaží přesvědčit žáka (a učitele), že jde o jakési
"porozumění", i když o to rázněji zamlčuje podstatné principy.
Také časopis s doporučeními
pro vysokoškolské učitele matematiky přinesl v posledních měsících hlavní
úvodník, jehož cílem bylo vyvrátit "mýtus vědecké gramotnosti". Pod
praporem této "vědecké gramotnosti" byla v minulých desetiletích
ospravedlňována rozsáhlá restrukturalizace učebních osnov, kterou mnozí vědci
hodnotili jako násilné rozmělňování obsahu, jehož cílem bylo vychovat studenty,
kteří sice vědě nerozumějí, ale přesto o ní budou umět mluvit a psát. Nyní se
však dozvídáme, že většina studentů by neměla dosáhnout ani této
"gramotnosti", ale pouze mnohem nižšího cíle
"informovanosti". Současným příkladem (z periodika učitelských
svazu), co taková informovanost znamená, je schopnost pouze rozpoznat pojmy
jako "teorie chaosu" a "změna paradigmatu" a na základě
toho se podřídit jakékoli postmodernistické reorganizaci, která je navrhována.
Tvrzení, že se nyní
nacházíme v "postmoderní" a "hravé" době, je univerzitními
pedagogickými centry předkládáno jako základ pro nahrazení výuky matematiky
"zkoumáním našich návyků". Ve snaze získat pro tuto transformaci některé
profesory byla vzkříšena stará ekoteroristická tvrzení, že matematické myšlení
podporuje vojenskou techniku a ničení životního prostředí a že my
"jsme" naše matematika.
V posledních měsících se pro
tyto protireformní "reformy" nabízí i filozofický základ. V amerických
a kanadských časopisech pro vysokoškolské učitele matematiky se objevuje, že
matematické myšlenky mají společenský charakter a že tyto společenské rituály
představují třetí kategorii bytí, a jsme ujišťováni, že kurikulum stojí mezi
individuálním a kolektivním. Přinejmenším dvě nedávné matematické publikace
chválí filozofy Kuhna, Lakatose, Feyerabenda a Poppera, přičemž jedna říká, že
filozofie matematiky potřebuje několik velkých inovátorů jejich ražení, druhá
je nazývá příkladnými "filozofy iracionalismu".
Vztah mezi výukou matematiky a filozofií matematiky v roce 1996 je pouze nejnovější etapou dlouhého procesu. Před třemi sty lety bylo explicitně vyjádřeno a zveřejněno Leibnizovo pravidlo o stupni změny u součinu a Newtonova věta, že stupeň změny plochy pod křivkou je výškou této křivky. Tento výpočet byl Bernoullim a Eulerem, Cauchym a Maxwellem rozvinut do podoby univerzálního nástroje pro konstrukci motorů, lodí, elektrických a komunikačních systémů atd. Přesto i po třech stech letech většina lidí, včetně většiny lidí, kteří tyto zázraky skutečně konstruují, není schopna tyto projekty na základě vlastních zkušeností zpochybnit, protože znalost tohoto nástroje byla odepřena. A co je ještě bizarnější: nepochopení sdílí i většina lidí, kteří prošli kurzy, na jejichž zajištění stát vynaložil značné úsilí.
Existují totiž profesoři,
kteří se domnívají, že většina studentů je neschopná a neochotná se naučit
jakýkoli závažný předmět. Ale již kolem roku 1750 v italském Miláně Maria Agnesiová napsala a vytiskla učebnici, která vycházela z předpokladu, že
veškerá italská mládež by se mohla a měla naučit kalkulus. Její osvícená vize
se dosud nenaplnila (v Itálii ani jinde). Co se stalo?
Poté, co francouzská
revoluce zavedla decimální systém, bylo nutné přepočítat trigonometrické a
logaritmické tabulky používané ve stavebnictví, navigaci atd. Před několika
lety o tom jedna obří nadnárodní počítačová korporace široce zveřejnila
následující pravdivý příběh: Organizací rozsáhlého úkolu výpočtu byl pověřen
vynikající inženýr jménem (Gaspard de) Prony. Vypůjčil si od Adama Smithe a
rozdělil personál do tří úrovní: Úroveň A se skládala z několika matematiků,
kteří byli schopni vymyslet příslušné vzorce, úroveň B z poněkud větší skupiny
lidí, kteří byli schopni převést vzorce do algoritmů, ale mnohem větší skupinu
C tvořili lidé, kteří algoritmy skutečně prováděli sčítáním a násobením.
Pointa, kterou počítačová korporace považovala za hodnou vzkříšení o dvě stě
let později, byla tato: "Zjistilo se, že práce šla hladčeji, když ti ze
skupiny C neznali matematiku."
Ve 30. letech 19. století se
v Británii daly do pohybu miliony lidí, kteří požadovali demokracii. Mezi
opatřeními k potlačení požadavků tohoto chartistického hnutí vytvořila Soukromá rada poprvé systém státem podporovaných škol a školení učitelů a inspekce, aby
"zavedla pořádek a disciplínu v dělnické třídě, když se starší metody
uplatňování autority zhroutily". (Encyclopedia Brittanica) Vzdělávání
poskytované těmito novými školami je vědomě dvoustupňové: například jeden z
určujících dokumentů požaduje, aby "aritmetika byla logikou chudých".
V takto modelovaných školských systémech je často patrné, že zatímco učitelé se
snaží učit dostatečně, administrativní výdaje a nařízení mají větší cíl -
zajistit, abychom neučili příliš mnoho.
V období před rokem 1848
panoval optimismus ohledně možnosti všeobecné osvěty. Například dánský fyzik
(Hans Christian) Oersted, který objevil důležitý princip vztahující se k
elektřině a magnetismu, založil instituci, aby se o něm dozvěděli všichni.
Německý matematik (Hermann) Grassmann, který v roce 1844 publikoval novou
teorii a metodu v geometrii, kterou nyní začínají hojně využívat fyzikové, byl
ve skutečnosti středoškolským učitelem, který trval na tom, že jeho nová
dialektická filozofie je přinejmenším stejně důležitá, protože je výslovně
zaměřena na pomoc studentům při učení a porozumění. Když však v sedmdesátých
letech 19. století jeden z jeho následovníků vydal knihu, v níž podrobně
ukázal, jak lze Grassmannovy metody využít nejen k výuce geometrie, ale také k
zavedení počtů na střední škole, dočkal se velmi ostré recenze a odsouzení za
to, že navrhl takový zásah do pruského řádu věcí; autor recenze Felix Klein byl
později oficiálním zástupcem této říše na Světové výstavě, která se konala v souvislosti
s otevřením Rockefellerovy univerzity v Chicagu.
Po vzoru Soukromé rady se
vyvinul soubor technik, jakási boxerská technika, jak občas zdánlivě ustoupit
požadavkům na reformu a ve skutečnosti tím nasměrovat své síly tak, aby
sloužily opačnému cíli. Například čtyřicet let po Grassmannově smrti se pruský
establishment rozhodl udělat z něj "velkou německou duši", ale v
pragmatických časopisech byl líčen jako filozofický idealista. V roce 1908 Lenin bránil Grassmannovu materialistickou filozofii před tímto neoprávněným
překrucováním a v souvislosti s některými návrhy na zavedení vyšší matematiky
do škol také poznamenal, že se tak jistě neděje proto, aby se prohloubily a
rozšířily přírodovědné znalosti, ale spíše proto, aby se vytvořil základ pro propagaci
idealistické filozofie.
Popularizátoři pragmatismu a
organizátoři vysokoškolské výuky matematiky byli totiž po mnoho let úzce
propojeni a přední filozofické kruhy, jako byly Giffordovy přednášky ve Skotsku
a Sillimanovy přednášky na Yale, začaly systematicky zneužívat matematiku a
zejména neznalost matematiky u svých posluchačů. Premiér britského impéria
(kterému se pro jeho potlačování Irů přezdívalo "krvavý Balfour" a
později se proslavil prohlášením na podporu sionismu), který napsal několik
knih o filozofii, byl známý také svým zákonem o vzdělávání, který reorganizoval
střední školy. Balfour v jedné ze svých Giffordových přednášek prohlásil:
"Přál bych si, abych byl matematikem".
Skutečně, být známý jako
matematik se stalo cestou k historickému uznání jako filozofa. Například názory
Bertranda Russella na všechno se staly vyhledávanými a nakonec dokonce získal Nobelovu
cenu, částečně díky jeho proslulosti jako matematika; díky chytré hře se slovy
vymyslel nový obor filozofie známý jako "základy matematiky", jehož
jediným úkolem je dát matematice povolení k existenci a který musí být zapsán v
jiných symbolech, než jsou ty obvyklé matematické. Tuto druhou lest se naučil
od (Giuseppe) Peana, jehož následovníci hrdě vytvořili středoškolský text psaný
výhradně v symbolech, aby rozptýlili jakoukoli falešnou představu, že
"čísly", "přímkami" nebo "prostorem" skutečně
něco označujeme; kupodivu bylo toto dílo inzerováno jako objasnění Grassmanna.
Asi nejznámější osobností
20. století, která se vědomě řídila pragmatickou filozofií, byl Mussolini; ale
pravděpodobně stejně důležitý byl John Dewey, jehož učení a organizace měly
obrovský vliv na vzdělávání po celém světě. Občas měl o směru svých reforem
zcela jasno; například v Číně v roce 1919 vedl na vysoké škole pro učitele
kurz, v němž vyslovil svou nechvalně známou zásadu:
"Učte dítě, ne
vědu"!
Svědomití učitelé samozřejmě
po staletí dělali obojí: osvojení si určité části nashromážděných znalostí
lidstva (vědy) je účelem přítomnosti dítěte ve škole, ale učitel se snaží toto
osvojení vést s ohledem na konkrétní situaci každého dítěte. Proč tedy Dewey
zakazuje výuku vědomostí? V Číně srovnával údajné "autoritářství"
vědy s nedávno svrženým císařským režimem a od té doby bylo široce pojaté
obvinění z "autoritářství" tisíckrát použito jako záminka k tomu, aby
bylo ze školních systémů odstraněno vyučování deduktivního aspektu v geometrii,
gramatických částí řeči, schematizace vět atd. Mnoho vysokoškolských učitelů
matematiky dnes skutečně analyzuje, že velká část obtíží, které mají studenti
čerstvě po maturitě, není způsobena matematikou samotnou, ale jejich prvním
skutečným setkáním s požadavkem, aby byl běžný jazyk používán přesně. Deweyho
mocná zásada "učit dítě, ne vědu" má mnoho důsledků, například protidětskou
teorii, že "učení je zábava", a nakonec i logiku, podle níž vtipy
nahrazují uvažování; jistě k této zásadě patří i příkaz často adresovaný žákům:
"Řekni to vlastními slovy". Tento příkaz je velmi přitažlivý pro
učitele, kteří vědí, že porozumění vyžaduje vědomý akt jednotlivce. Celá
atmosféra školy však často nařizuje, aby "vlastními slovy" znamenalo
"co nejnepřesněji", čímž se ničí osvojování pojmů v jakékoli
použitelné podobě.
Již na počátku devadesátých
let minulého století byla tradice, že škola by se měla věnovat poznávání
nahromaděného lidského vědění, narušována jiným způsobem: Ocelářské město Gary
ve státě Indiana bylo na Rockefellerovu žádost celé vybudováno - továrny, domy
pro dělníky, chodníky i školský systém. Aby se minimalizoval volný čas synů a
dcer dělníků, byly mimoškolní aktivity ve školách prohlášeny za nezbytné pro
rozvoj "dítěte". Tento Deweyem schválený školský systém studovali
administrátoři z celého světa, kteří jej jezdili pozorovat. Celý Deweyho
program byl stylizován jako "progresivní" vzdělávání, což
prostřednictvím tohoto termínu ilustrovalo základní princip pragmatistické
epistemologie: pravda je to, co vám projde.
V roce 1915 se americká
matematická organizace rozdělila na dvě, z nichž jedna se věnovala především
podpoře výzkumu a druhá údajně podpoře vysokoškolské výuky. Ta druhá udržovala
a prohlubovala své vazby s pragmatickou filozofií v roce 1921, kdy na setkání
na Wellesly College věnovala vdova po předním propagátorovi pragmatismu Paulu Carusovi (jehož deklarovaným cílem bylo propagovat náboženství na základě
nejnovějších poznatků vědy) několik tisíc dolarů na financování série
monografií. Na téže schůzi přednesl prezident organizace svůj projev nazvaný:
"Matematikovo náboženství", který se skládal ze zásad typu
"protože známe nekonečně mnoho, musíme znát i svou vlastní bezvýznamnost;
protože věříme v nekonečno, musíme věřit i ve všemohoucího; protože si dokážeme
představit čtvrtý rozměr, dokážeme si představit i nebe atd.". Této
politiky se organizace nikdy nezřekla a její publikace, jejichž cílem je
poskytnout návod vysokoškolským učitelům, během let vypilovaly k preciznímu
umění styl psaní podobný stylu Scientific American, tj. předpokládá se, že
čtenáři nepostoupí z nižší úrovně na vyšší, a proto jsou pod rouškou
"popularizace" všechny pojmy dostatečně nepřesné, aby byly pro
kohokoli nepoužitelné. Přednášejícím tohoto prezidentského projevu byl autor
jednoho z mála tehdy dostupných textů o dějinách matematiky v angličtině.
O matematice samotné se
často říká, že ve 20. století dosáhla většího pokroku než ve všech předchozích
stoletích. Mezi tyto pokroky patří nejen řešení a formulace obtížných problémů
s geometrickým a jiným obsahem, ale také (a to je nezbytné) rozvoj
sjednocujících pojmů, které mají velkou zjednodušující a objasňující hodnotu.
Zdá se, že kolem roku 1960 se naskytla příležitost rozšířit tuto zjednodušující
a objasňující hodnotu mezi mnohem větší počet studentů. Příležitost byla, jak
jsem pochopil, následující: Vládnoucí kruhy USA, které se čerstvě radovaly z
toho, že se jejich příteli Chruščovovi podařilo svrhnout socialistický systém a
přeměnit jej na pseudosocialistický, si náhle uvědomily, že tím také čelí
konkurenční velmoci. To znamenalo jistý posun hranice mezi úrovněmi B a C na
Pronyho stupnici, přenastavení hranice mezi "aritmetikou" a
"logikou" na protichartistickém plánu Soukromé rady: více studentů se
bude muset učit více matematiky a přírodních věd, aby mohli čelit hrozbě
Sputniku. Bez ohledu na přesné detaily pozadí se kolem roku 1960 naskytla
příležitost, aby univerzitní vědci řídili letní školy pro horlivé středoškolské
učitele, aby spisovatelské týmy vytvářely nové učebnice pro žáky a učitele atd.
Mnozí odborníci tuto výzvu nadšeně přijali v duchu toho, aby pojmy, které se
pro ně ukázaly být tak osvěcující, posloužily i všem ostatním. Takový počin
samozřejmě vyžaduje několik let zpětné vazby od žáků a revizi textů (a nový
matematický výzkum!), aby se stal úspěšným. Této fáze však nikdy nebylo
dosaženo, protože hnutí bylo zdiskreditováno; nadšení odborníci podcenili
přípravu opozice. Umělým zaměňováním významů slov jako "fundace"-"základy“
trval fundacionalistický směr (který se zakořenil od dob, kdy Bertrand Russell
začínal na London School of Economics - LSE) na tom, že texty musí být psány v
jejich idiosynkratické notaci. A odborné pedagogické školy (sídlící od dob
Deweyho ve věžích ze slonoviny vzdálených od skutečných vědeckých kateder)
převzaly od zmatených vědců vedení hnutí a zajistily jeho zkázu.
Zdálo by se, že zřejmým
způsobem, jak zlepšit výuku matematiky, by bylo uvádět více příkladů a
aplikací. To je samozřejmě správné, ale uvést to jako požadavek a zastavit se u
toho, znamenalo opět podcenit to, s čím se potýkáme. V sedmdesátých a
osmdesátých letech 20. století vyšlo mnoho "aplikovaných" učebnic
matematiky, v nichž byly explicitní principy podřízeny problémům rozmělněným a
zkresleným mimo použitelnost z různých oborů. Ale jak mnozí profesoři těchto
různých oborů chápou, matematika je teorie. To, co student potřebuje od
matematiky v aplikační oblasti, jako je chemie, řízení podniku atd., je znát
matematiku co nejlépe, aby aplikované pojmy byly přístupné s malou tajuplností
ve vztahu k matematice a aby zvládnutí vhodných nových metod mohlo být částečně
samostatné. Izolované, konkrétní metody, které se naučíme mechanicky a pak je
zapomeneme, a zejména polovičaté pokusy naučit údajnou aplikaci místo
explicitních principů počítání, mohou jen negativně ovlivnit schopnost studentů
aplikovat matematiku.
Poptávka po lepších
učebnicích matematiky v anglicky mluvícím světě tak začala být z výše uvedených
a mnoha dalších důvodů stále hrozivější. Původní reakce nakladatelů (že nikdy
nezmění svou politiku a příští rok nabídnou přesnou kopii konkurenčního
učebního textu, který v předchozím roce vydělal nejvíce, jen s více barvami) se
setkala se zaslouženým opovržením. Některé z novějších nabídek jsou výsledkem
mnohamilionových vládních zásahů.
V protikladu k obrazu
profesora, který považuje výuku a výzkum za vzájemně nepřátelské, mnozí je
považují za vzájemně prospěšné.
Mnohé z myšlenek, které
vedly k dlouhému a plodnému rozvoji výzkumných pracovníků, ve skutečnosti
vznikly z pokusů vysvětlit věci srozumitelněji studentům. Například pokusy
poskytnout v 60. letech 20. století jasnější, jednodušší, ale přitom rigorózní
základ pro pochopení kalkulu vedly k novému směru výzkumu základů topologie,
logiky a analýzy, v jehož rámci vzniklo mnoho inovativních prací a více než
tucet knih. Na druhou stranu výzkum čas od času vede k novým syntetizujícím
koncepcím, které nesmírně vyjasňují věci pro badatele, kteří se pak snaží najít
způsob, jak toto vyjasnění rozšířit mezi studenty. Například výzkum
matematických základů termomechaniky kontinua a konstitutivních vztahů látek
vedl k novým, přímějším způsobům práce s infinitezimálními veličinami, prostory
funkcí a extenzivními veličinami, které se nyní na některých místech vyučují
pro vysokoškolské studenty.
Výzkum a výuka jsou
samozřejmě odlišné aspekty činnosti, ale dokud jsou živé, mají společnou
orientaci, odhodlání neúnavně bojovat proti nedostatku znalostí.
Historie ukazuje, že
učitelé, toužící po větší možnosti podílet se na tvorbě a šíření osvěty, se
nespokojí s tím, že budou čekat, až jim ji ten či onen zřizovatelský subjekt
poskytne. Nejenže by naplnění těchto potřeb zůstalo navždy pouhým politickým
cílem; naše nadšení by bylo i nadále využíváno jako motor šíření ještě většího
množství pseudoznalostí a pesimismu. Problém lze uchopit k řešení i bez
milionových grantů, a to jak vymýšlením učebních materiálů, které odrážejí
skutečný historický vývoj daného oboru (ani neopakují nějaké zakořeněné sto let
staré falešné souhrny, ani nepodléhají ultrarevoluční postmodernistické
degeneraci), tak i explicitním vyjádřením filozofie, která vyplývá ze
skutečného vývoje výzkumu posledních desetiletí. Je však nutné kolektivní úsilí
o soustředění těchto materiálů a jejich šíření tak, aby sloužily potřebám celé
společnosti.
Zdroj https://cpcml.ca/Articles/230130-HistandPhilofMAthematicsWLawvere.html
Nekrolog F. W. Lawvera http://ksm.cz/ze-zahranici/4949-na-pamatku-f-williama-lavwera
Další jeho filozofické texty https://sturmovatnebesa.blogspot.com/2023/02/legendarni-matematik-lawvere-1937-2023.html
Anglická wikipedie https://en.wikipedia.org/wiki/William_Lawvere
Sebrané práce F.W. Lawvera https://github.com/mattearnshaw/lawvere
Komentáře
Okomentovat