Legendární matematik Lawvere (1937-2023) a filozofie
Nekrolog k jeho úmrtí přinesla Komunistická strana Kanady (marxisticko-leninská), v které byl aktivní v 70. letech během svého pobytu na místní univerzitě, z které byl pro politické angažování vyhozen.
Zajímavá je zmínka ze 70. let, z kterého zůstal jen novinový článek, o přednášce “Aplikace marxistického, leninského a maocetungovského myšlení na matematiku a vědu”.
(The Chevron, Vol. 16, Nº. 31 (pátek, 6. února, 1976) Waterloo, Ontario, Canada)
V roce 1996 přednesl přednášku o kapitalistickém úpadku vzdělávání zejména v matematice, jehož překlad také udělám.
Nás ale nyní zajímá, jaká byla jeho filozofická orientace v matematice. Překvapivě v jeho četných článcích (které jsou psány nestandardně s minimem symbolů, téměř v próze) nalezneme mnoho zmínek o filozofických otázkách a pokusil se i rehabilitovat Marxův vlastní pokus o fundaci diferenciálního počtu.
Že nejde o náhodnou politickou libůstku napovídá i to, že na Lawverovu práci nejen navazují četní výzkumníci v horkých oborech, jako je umělá inteligence, kteří jsou více nebo méně obeznámeni s filozofickou spojitostí Lawverovy práce, ale že se na jeho práci navazují i pokusy o formalizaci Hegelovy Logiky, (shrnutí) nebo logického postupu v Marxově Kapitálu.
Uvádím překlad několika částí z textů Lawvera, které o jeho filozofické orientaci vypovídají.
Nejdříve dejme slovo k tomuto tématu nejdříve jednomu z jeho spolupracovníků, dalšímu velkému matematikovi, Joachimu Lambekovi.
Joachim Lambek: The Influence Of Heraclitus On Modern Mathematics
Vliv Herakleita na moderní matematiku
Strávil jsem dovolenou 1965-6 v Curychu, kde jsem vedl rozhovory s mladým americkým matematikem Billem Lawverem. Prozkoumávali jsme myšlenku, že zajímavou ilustraci dialektických rozporů lze nalézt v „adjungovaných funktorech“ z moderní matematiky, které nedávno popularizoval Peter Freyd ve své knize o abelovských kategoriích. Zatímco základní myšlenka s adjungovanými funktory je plně obsažena v „univerzálním mapovacím problému“ Nicolase Bourbakiho, jejich symetričtější prezentace Kana v roce 1958 se opírala o představu kategorie vynalezené Eilenbergem a MacLanem.
Pro mě spojitost mezi adjungovanými funktory a dialektickými rozpory nebylo nic víc než zábavná analogie, ale pro Billa Lawvere to mělo hluboký význam a prostupovalo celou strukturou a vývojem matematiky. Poté, co byl v mládí ovlivněn obecnou sémantikou, začal být přitahován marxismem-leninismem a došel k vidění dialektického procesu všude v matematice. Když se na to byl dotázán o několik let později, nepřipouštěl, že by adjungované funktory byly jedinými projevy rozporů v matematice. V této eseji se však omezím hlavně na tento užší pohled.
Ve svém příspěvku „Quantifiers and sheaves“ na Mezinárodní kongres matematiků v Nice z roku 1970 Lawvere řekl:
“Jednota protikladů ... je v podstatě ten mezi logikou a geometrií, ... Nejprve shrneme hlavní rozpory Grothendieckovy-Giraud-Verdierovy teorie toposů ve smyslu čtyř nebo pěti adjungovaných funktorů ... Když hlavní rozpory teorie byly nalezeny, vědecký postup je shrnout je do sloganů, které se pak neustále používá jako ideologickou zbraň pro další vývoj a přeměnu věci. To pro „teorii množin“ vyžaduje zohlednění skutečnosti, že hlavní dvojice protichůdných tendencí v matematice mají podobu adjungovaných funktorů...”
Lawvereovy myšlenky ovlivnily řadu matematiků pracujících v oblasti teorie kategorií a toposů. Někteří z jeho studentů také zaujali jeho ideologickou orientaci...
Lawvere: Toward the Description in a Smooth Topos of the Dynamically Possible Motions and Deformations of a Continuous Body (1980)
K popisu dynamicky možných pohybů a deformací spojitého tělesa v hladkém toposu
Je mi ctí podílet se na připomenutí díla Charlese Ehresmanna, protože si stejně jako další velcí francouzští geometři naší doby jasně uvědomil, že k tomu, aby bylo možné poznat, rozvíjet a používat konkrétní nekonečněrozměrnou diferenciální geometrii, je nutné ji rekonstruovat jako pojem, a že tato rekonstrukce je možná pouze na základě ostrého určení rozhodující abstraktní obecné relace (DAGR) předmětu, a že k tomu, aby se toto určení podařilo, je nutné rozvinout teorii kategorií. Nyní, když teorie kategorií skutečně pokročila do velmi velké míry, můžeme projevit uznání za to, co jsme se o ní od těchto a dalších geometrů dozvěděli, tím, že se budeme zabývat fyzikou spojitých těles a polí, která byla koneckonců primárním zdrojem geometrie, kterou rozvíjeli jejich učitelé, jako byl E. Cartan. Uznání tohoto zdroje, stejně jako vnitřních axiomů, které pracně zdokonalujeme, je DAGR předmětu (vysvětlení role DAGR při rekonstrukci konkrétního jako pojmu viz Karel Marx, Kritika politické ekonomie, oddíl 3 "o metodě").
Podle Lenina je vědecký obraz světa obrazem hmoty, která se pohybuje, a hmoty, která myslí, a navíc zvláštní úlohou hmoty, která myslí, je odrážet rozhodující vztahy ve světě, aby poskytla teorii jako návod k jednání.
Tento materialistický obraz světa je v opozici k protivědeckým obrazům světa subjektivního idealismu, respektive objektivního idealismu.
Subjektivní idealismus vymysleli Platón, Berkeley atd., aby připravili půdu pro přijetí objektivního idealismu, a v této destruktivní a protivědecké práci pokračovali v nedávné době Mach, Russell, Brouwer, Heisenberg atd. Všimněte si, že všichni tito idealisté se dopustili zvláštního zkreslení matematické vědy jako jednoho ze základů svých pokusů přimět veřejnost, aby přijala jejich filozofii, že svět je výplodem představivosti (ať už naší, nebo "božské").
Jak mnozí zdůraznili, základním předmětem studia matematiky je prostor a kvantitativní vztahy. Jako podstatnou součást vědeckého obrazu světa tedy máme matematický obraz světa, jehož vazby na ostatní vědecké obrazy světa by neměly být nikdy zapomenuty.
Posouzení tohoto obrazu mimochodem jasně ukazuje, jak se mýlil bankéř Kronecker a jeho následovníci, kteří tvrdí, že kontinuum je pouze mentální konstrukcí z N a Omega (subjektivní idealizace opakování a pravdivosti), spíše než pojem odvozený prvotně přímo z naší historicko-vědecké zkušenosti se světem v pohybu.
To, co jsme se naučili o matematice, by nám mělo umožnit určit DAGR ve výše uvedené “chaotické představě celku” (Marx), kterým je matematika. V následujícím pokusu nastínit část takového určení jsem předpokládal pro nedostatek místa několik z těch DAGR obsažených v prvcích teorie kategorií...
http://www.numdam.org/article/CTGDC_1980__21_4_377_0.pdf
Lawvere: Display of graphics and their applications as exemplified by 2-categories and the Hegelian “taco” (1989)
Nejsem „hegelián“, protože odmítám Hegelův objektivní idealismus. Ale Hegelův částečně dosažený cíl rozvíjet objektivní logiku (jako součást zákonů myšlení alespoň stejně důležitých jako subjektivní logika běžně považovaná za „vše“ logiky) je svým způsobem program, který celý obsah teorie kategorií pracuje v matematice posledních 50 let. Bylo to kvůli některým objevům v základech homotopické teorie, proč jsem začal před několika lety studium Logiky jako vědy, pokusem o extrakci jejího „racionálního jádra“, které by mělo být užitečné při zkoumání, pokud skutečně odráží zákony myšlení...
Lawvere: Categories of Space and of Quantity (1992)
Kategorie prostoru a kvantity
0. Obnovený pokrok ve filosofii, který byl nezbytný i možný díky pokroku matematiky
Ve svém lyceu Aristoteles použil filosofii k poskytnutí jasnosti, přímosti a jednoty vyšetřování a studiu konkrétních věd. Programy Bacona a Leibnize a významné úsilí Hegela pokračovaly v tomto trendu. Jeden z nejčistších aplikací tohoto pohledu na matematiku je možné nalézt v zapomenutém úvodu Grassmanna k jeho teorii extenzivních kvantit z roku 1844. Na optimistická tvrzení a jejich užití lze narazit také v Maxwellově programu pro klasifikaci fyzikálních veličin z roku 1871 a v Heavisidově boji za správnou roli teorie v praxi výstavby dálkových telefonních linek z roku 1887. V posledně jmenovaném formuluje Heaviside, co bylo také mým vlastním postojem za posledních třicet let: ta skutečnost, že naše znalosti samozřejmě nebudou nikdy úplné, a tudíž žádná obecná teorie nebude konečná, není v žádném případě důvodem, abychom nepoužili tu nejobecnější teorii, kterou může věda doložit, a vlastně musíme v zájmu přesnosti učinit právě to.
Studentům, jejichž hledání je vede výše uvedeným směrem, představuje oficiální buržoazní filozofie 20. století téměř vakuum. Toto vakuum je výsledkem Jamesiánského trendu, který byl jasně analyzován Leninem v roce 1908, ale „popularizován“ Carusem, Mauthnerem, Deweyem, Mussolinim, Goebbelsem atd., aby vytvořil současný standard pravdy v žurnalistice a historii; tento trend vedl mnoho filozofů k zaujetí s příchutěmi permutací teze, že žádné vědění není vlastně možné. Toto vakuum 20. století se přirozeně pokusilo sát z duše matematiky, co lze: student věd, který se naivně zapisuje do kurzu nazvaného „Základy matematiky“ pravděpodobněji obdrží kázání o nepoznatelnosti na základě některých elementárních abstraktních úvah o subjektivním nekonečnu, než aby získal potřebného filosofického průvodce systematickým chápáním konkrétního bohatství čisté a aplikované matematiky tak, jak byla a bude rozvíjena.
Oproti tomu se matematika v tomto století nezastavila. V důsledku toho byli matematici ve svých pracovních lavicích nuceni utvářet filozofické nástroje (spolu s důkazy vět, které údajně jsou jejich jediným produktem), a jednat jako vlastní "Aristotelové" a "Hegelové" v zápasu s dialektikou „obecného“ a „konkrétního“ ve svém oboru. Děje se takřka v naprosté nevědomosti dialektického materialismu a často s pochopitelnou pohrdavostí vůči filozofii obecně. Byl to zápas s problémem týkajícím se sfér a vztahu mezi průchodem k limitě a skokem z kvantity do kvality, který vedl Eilenberga a Mac Lanq na počátku 40. let k formulaci obecné matematické teorie kategorií, funktorů a přirozených transformací. Podobně studium konkrétních problémů v algebraické topologii, funkcionální analýze, komplexní analýze a algebraické geometrii v 50. letech vedlo Kana a Grothendiecka k formulaci a užití důležitých dalších postupů, jako jsou adjungované funktory a abelovské kategorie. Ani posledních třicet let nebylo bez pokroku: od prvního mezinárodního setkání o teorii kategorií v La Jolla v Kalifornii v roce 1965 až po poslední setkání v italském Comu v roce 1990, toposy, obohacené kategorie, 2-kategorie, monady, parametrizované kategorie (někdy nazývané „indexované“), syntetická diferenciální geometrie, jednoduchá homotopie atd. byly zdokonaleny a vyvinuty více než dvě sty výzkumníky se silnými vazbami na téměř každou oblast matematiky. Do tohoto vznikajícího systému objektivní logiky (rozvíjející se teorie kategorií) byly se zdokonalením začleněny zejména všechny nyní již tradiční oblasti subjektivní logiky.
Věřím, že v příštím desetiletí a v příštím století budou technické pokroky vytvořené teoretiky kategorií užitečné pro dialektickou filosofii a propůjčí přesnou formu se spornými matematickými modely starodávným filosofickým rozlišením, jako je obecný vs. zvláštní, objektivní vs. subjektivní, bytí vs. stávání se, prostor vs. kvantita, rovnost vs. rozdíl, kvantitativní vs. kvalitativní atd. Pro dosažení cíle, kterým je šířeji naučitelná a použitelná matematika (a tedy i další vědy), je pak nutná výslovná pozornost matematiků k takovým filozofickým otázkám.. To samozřejmě bude vyžadovat, aby se filozofové učili matematiku a aby se matematici učili filozofii. Vzpomínám si například na to, jak moje neznalost filozofických významů „formy, substance, pojmu, organizace“ vedla čtenáře k mylnému výkladu mých prací z roku 1964 o kategorii množin a mého článku z roku 1968 o adjunkci v základech; hlubší studie o Hegelově Wissenschaft der Logik a Grassmannově Ausdehnungslehre může naznačovat zjednodušení a kvalitativní zlepšení v níže uvedeném okruhu myšlenek...
https://raw.githubusercontent.com/mattearnshaw/lawvere/master/pdfs/1992-categories-of-space-and-quantity.pdf
Lawvere: Tools for the Advancement of Objective Logic: Closed Categories and Toposes (1994)
Nástroje pro pokrok objektivní logiky: uzavřené kategorie a toposy
F. William Lawvere
Základní tezí je, že explicitní adekvátní rozvoj vědy o vědě bude vyžadovat použití matematické teorie kategorií. I v rámci matematické zkušenosti pouze tato teorie aproximovala konkrétní model obecného, dostačujícího jako základ pro obecný popis všech podrobností. Teorie kategorií, která vznikla před 50 lety z potřeb geometrie, vyvinula takové pojmy jako sousední funktor, topos, fibrace, uzavřené kategorie, 2 kategorie atd., aby poskytla:
(1) vodítko po složitých, ale velice nelibovolných konstrukcích pojmů a jejich interakcí, které vyrůstají ze studia prostoru a kvantity.
Teprve vytrvalé dodržování potřeb tohoto základního předmětu způsobilo, že teorie kategorií byla tak odhodlaná, zároveň silná. Když některé školy teorie kategorií sešly z cesty, obvykle to bylo způsobeno buď příliš dlouhým zanedbáváním konkrétního cíle lepšího studia prostoru a kvantity, nebo kostnatěním některých zvláštních určení toho, jaký prostor a množství jsou. Pokud nahradíme „prostor a kvantitu“ v (1) výše výrazem „jakýkoli závažný předmět zkoumání“, stane se (1) mou pracovní definicí objektivní logiky. Samozřejmě, když se vezmou ve filozoficky správném smyslu, prostor a kvantita prostupují jakýmkoli seriozním oborem zkoumání. Teorie kategorií se také zpředmětnila ve zvláštním charakteru:
(2) Subjektivní logika dovozování mezi tvrzeními. Zde jsou tvrzení zajímavá pouze pro jejich potenciál popsat objekty, které konkretizují pojmy; zde tímto popisem míníme jak popisování konstruovaných objektů, tak označování desiderat pro jejich konstrukci.
Konkrétně potřebujeme například matematický model následující filosofické pozice. V rámci myšlení:
(a) Subjektivní logika je součástí objektivní logiky, která také odráží a částečně řídí její (objekt. logiky) konstrukci.
(b) Samotné myšlení je součástí bytí, které odráží bytí a řídí naši činnost v něm.
(c) Jedním z mnoha aspektů bytí je (b) samo, což se proto projevuje jako (a).
(d) (a) pojímaný jako proces v rámci bytí, je ústředním rysem myšlení, kterému se musí věda myšlení zabývat.
Výslovná filosofie, zabývající se jak vzájemnou transformací subjektivní logiky a objektivní logikou, tak vzájemnou transformací individuálního myšlení a kolektivního myšlení, by mohla být velmi užitečná (například při reformě škol) a odpovídající matematické modely budou podstatnou základnou jasnosti...
https://github.com/mattearnshaw/lawvere/blob/master/pdfs/1994-tools-for-the-advancement-of-objective-logic-closed-categories-and-toposes.pdf
Anglická wikipedie https://en.wikipedia.org/wiki/William_Lawvere
Sebrané práce F.W. Lawvera https://github.com/mattearnshaw/lawvere
Komentáře
Okomentovat